احاجي صعبة

بسم الله الرحمن الرحيم
سأعرض اليوم اثنتان من اصعب الاحاجي الموجودة والتي ستجهد تفكيركم ولكنني مؤمن بذكائكم
1)- اذا وجد في مبنى معين 100 مصباح ولهم يوجد 100 مفتاح جميعهم الى الاسفل (المصابيح مطفئة) ووجد ايضا 100 شخص مرقمين من 1 الى 100 ..
سيدخل الشخص رقم واحد وسيقلب المفاتيح التي رقمها يقسم على واحد اي سيضيئ الجميع ومن ثم سيدخل الشخص رقم 2 وسيقلب المفاتيح التي رقمها يقسم على 2 اي يطفئ جميع المفاتيح التي ارقامها زوجية ومن ثم الشخص الثالت وبعده الرابع حتى نصا الى الشخص رقم 100 ...
والان السؤال اي المصابيح التي ستبقى مضيئة في النهاية ؟
فكرو جيدا واوجدو طريقة للحل لا بالتحزير ولا بالتجريب
شكراااا
2)- في سجن ما وجد 100 سجين قيل لهم غدا ستقفون صفا مستقيم اي ان الشخص الاخير يرى الجميع والاول لا يرى أحد ويضعون على رأس كل واحد قبعة اما بالون الابيض واما بالون الاسود ..
على كل شخص معرفة لون القبعة التي على رأسه ففي حال عرف نجا وفي حال لم يعرف أعدم ...
من بين السجناء هناك استاذ في الرياضيات جمع الجميع وقال لهم عندي خطة معينة التي من خلالها في اسوء الاحوال سيموت شخص واحد أي على الاكثر شخص واحد سيفشل في معرفة لون قبعته ...
الان ما هي الطريقة التي اقترحها الاستاذ ؟ فكرو جيدا ولكم الشكر